1)^2 ?)] (3-16)
N_(2m+1)^o=(2 ?q cos?(?/2))/(?(2 ) ? ?Se?_(2m+1) (0;q)?Se?_(2m+1) (??2;q))[B_1/?(?_(J=0)^???I_(2j+1) (?) B_(2j+1)^2 ?)] (3-17)
از طرفی طیف زاویه‌ای پرتو ماتیو-گاوس به صورت زیر بیان می‌شود]29[:
A(?;q)=?ce?_m (?;q)+i ?se?_m (?;q) (3-18)
3-2-3 پرتوهای کسینوس-گاوس
چندین جواب ناپراشیده برای معادله موج گزارش شده است که پرتو کسینوسی، حل این معادله در دستگاه مختصات دکارتی40 است. در سال‌های اخیر، بیان تحلیلی مشخص برای بررسی چگونگی انتشار پرتوهای خاص کسینوس-گاوس در فضای آزاد و محیط اپتیکی ارائه شده است و همچنین کیفیت و ویژگی‌های این دسته پرتو نیز به طور کامل بررسی شده است]56[-]60[. یک نمایش ساده و ایده‌آل از میدان پرتو کسینوس-گاوس به صورت زیر بیان می‌شود]33[:
CG=?A exp??(-r^2/?^2 )cos(k_t y) (3-19)
که در این رابطه A ثابت بهنجارش است و میدان کسینوسی cos(k_t y)، نتیجه انطباق دو موج تخت ایده‌آلexp (i?_ty)/2+exp(-i?_ty)/2 است. میدان کسینوسی را می‌توان به راحتی در آزمایشگاه توسط آزمایش دو شکافی یانگ تولید کرد. طیف زاویه‌ای پرتو کیسنوس-گاوس پیوسته نیست بلکه گسسته است و به صورت زیر بیان می‌شود]33[:
A(?)=?(?-?/2)+?(?+?/2) (3-20)
که در این رابطه، ?(.) تابع دلتای دیراک است.
3-2-4 پرتوهای سهموی-گاوس
بندرس41 و همکاران در مقالات اخیرشان ]32,33[،]52[، ]61[، وجود پرتوهای سهموی و خصوصیات این دسته پرتو را به طور دقیق مورد بررسی قرار داده‌اند. میدان پرتو سهموی-گاوس به صورت زیر بیان می‌شود:
PG=R(?)?(?) (3-21)
در این رابطه (?,?) مختصات سهموی هستند که به‌صورت x+iy=?(?+i?)?^2/2 به مختصات دکارتی ارتباط دارند. با جداسازی متغیرها، معادله هلمهولتز در مختصات سهموی به صورت زیر محاسبه می‌شود:
(d^2 R)/(d?^2 )-(?_t^2 ?^2-?2?_t a???)R=0? (3-22)
(d^2 ?)/(d?^2 )-(?_t^2 ?^2+?2?_t a???)?=0? (3-23)
پرتوهای سهموی-گاوس که حل معادله موج در دستگاه مختصات استوانه‌ای سهموی42 هستند بر حسب مرتبه‌های زوج و فرد معرفی شده و به‌صورت زیر بیان می‌شوند]52[:
PG_ ^e (r,a)=|?_1 |^2/(??2) exp?((ik_i r_ ^2)/2k)P_e^ (?(?2k?_t ) ?;a) P_e^ (?(?2k?_t ) ?;-a) exp?(-r^2/(?_ ^2 )) (3-24)
PG_ ^o (r,a)=?|?_3 |^2/(??2) exp?((ik_i r_ ^2)/2k)P?_o^ (?(?2k?_t ) ?;a) P_o^ (?(?2k?_t ) ?;-a) exp?(-r^2/(?_ ^2 )) (3-25)
در روابط بالا، a پارامتری از مرتبه پیوستگی پرتوها است که محدوده‌ی آن ?-?a است، ? ??_1=?(1/4+0.5ia) ، ?_3=?(3/4+0.5ia) بیان می شود. در روابط (3-24) و (3-25) تابع ?p_(o,e)?_ ^ (.) به صورت زیر بیان می‌شود:
p(v,a)=?_(n=0)^???c_n v^n/n!? (3-26)
که ضرایب c_n از رابطه بازگشتی زیر پیروی می‌کنند:
c_(n+2)=a c_n-(n (n-2))/4 c_(n-2) (3-27)
در این رابطه، برای حالت زوجc_?=1 و c_1=0 و برای حالت فرد c_?=0 و c_1=1 است. از طرفی طیف زاویه‌ای پرتو سهموی-گاوس برای مرتبه زوج و فرد به صورت زیر بیان می‌شود:
A_e (?;a)=1/(2?(?|sin?? |)?^0.5 ) exp?(ia ln|tan?(?/2)| ) (3-28)
A_o (?;a)=1/i { ?(?-A?_e (?;a) ? ?(-?,0) @A_e (?;a) ? ?(0,?) )?(3-29)
3-3 مدل گرمایی
سیستم لیزری فرض می‌شود که در آن، پرتوهای کسینوس-گاوس و سهموی-گاوس توسط یک بلور لیزری حالت جامد که از انتها توسط یک لیزر دیودی دمیده می‌شود، تولید می‌شوند. در این سیستم، پرتو هنگام حرکت در بلور به دلیل تأثیر گرما، یک محیط عدسی-‌گونه گرمایی را تجربه می‌کند که نتیجه مستقیم شیب دمایی در محیط است. بنابراین لازم است ماتریس انتقال ABCD مربوط به این محیط با ضریب شکست متغیر43 GRIN)) محاسبه شود تا بتوان پرتوهای خاص کسینوس-گاوس و سهموی-گاوس را در صفحه خروجی شبیه‌سازی کرد. لذا با فرض یک ضریب رسانندگی گرمایی ثابت K برای این محیط، توزیع دمای در بلور لیزری برای حالت پایا، به صورت رابطه زیر بیان می‌شود]20[:
(?^2 T)/(?r^2 )+1/r ?T/?r+(?^2 T)/(?z^2 )=-(S(r,z))/K (3-30)
که در این رابطه، S(r,z) چگالی چشمه گرمایی است. چشمه گرمایی را می‌توان به صورت S(r,z)=??_q ?_abs g(r)a(z) نوشت که P توان دمش کل، ?_q نسبتی از توان دمش است که در اثر ناکارآمدی کوانتومی به گرما تبدیل می‌شود و ?_abs درصد جذب پرتو دمش توسط بلور لیزر است. توابع g(r) و a(z) به ترتیب وابستگی شعاعی و طولی نیمرخ پرتو دمش را بیان می‌کنند و شرط بهنجارش زیر را ارضا می‌کنند:
?_ ^ ??g(r)a(z)dV=1? (3-31)
به تبع از نیمرخ دمش، نیمرخ چشمه گرمایی، چگالی چشمه‌ی گرمایی S(r,z) با دو نیمرخ گاوسی و سوپرگاوسی شکل به صورت زیر در نظر گرفته می‌‌شود:
S_GP (r,z)=Q_GP exp(-(2r^2)/?^2 ) exp?(-?z) (3-32)
S_SGP (r,z)=Q_SGP exp(-?2r?^4/?^4 ) exp?(-?z) (3-33)
که در آن ? ضریب جذب محیط، Q_GP و Q_SGP ثابت‌های بهنجارش هستند که به صورت زیر محاسبه می‌شوند.
Q_GP=2/? (??_q ?_abs P)/(?^2 (1-e^(-?l) )(1-e^(-2 a^2/?^2 ) ) ) (3-34)
Q_SGP=(2/?)^(3/2) (??_q ?_abs P)/(?^2 (1-e^(-?l) ) erf?(?2 a^2/?^2 ) ) (3-35)
در این روابط P توان پمپ، ? ضریب جذب محیط، l طول بلور است.
در شکل‌های (3-3) و (3-4)، توزیع شعاعی چگالی چشمه گرما با نیمرخ گاوسی شکل، برای توان دمش و کمر پرتو دمشی مختلف رسم شده است. بررسی این شکل‌ها، نقش و میزان تأثیر این پارامترها در کاهش یا افزایش گرمای ایجاد شده در میله لیزری را به وضوح نشان می‌دهد. پارامتر مهم و تأثیرگذار در تولید گرما در بلور، اندازه کمر پرتو دمش است که افزایش آن، سبب کاهش تولید گرما در محیط فعال لیزر می‌شود.

این مطلب رو هم توصیه می کنم بخونین:   منبع پایان نامه ارشد با موضوع the، of، and

شکل 3-3: تغییرات چگالی چشمه گرمایی بر حسب فاصله شعاعی برای توان دمش مختلف.

شکل 3-4: تغییرات چگالی چشمه گرمایی در راستای شعاع میله برای کمرهای پرتو دمش متفاوت در توان دمش 5 وات.
شرایط مرزی مناسب که چگونگی انتقال گرما از سطوح میله را بیان می‌کند از معادله همرفت پیروی می‌کند و به صورت زیر بیان می‌شود:

-K (?T(r,z))/?r |_(r=a)=h(T(a,z)-T_? )
-K (?T(r,z))/?r |_(z=l)=h(T(r,l)-T_? ) (3-36)
K (?T(r,z))/?r |_(z=0)=h(T(r,0)-T_? )
که در آن T_? دمای محیط و h ضریب انتقال گرما است. با استفاده از شرایط مرزی، حل تحلیلی دقیقی برای رابطه (3-30) توسط یوسیویچ و همکارانش انجام و به صورت زیر محاسبه شده است]20[:
T(r,z)=?_(i=1)^???t_i (z) J_? (v_i r)+T_? ? (3-37)
در این رابطه، J_? (v_i r) تابع بسل مرتبه صفرم است با v_i هایی که ریشه معادله زیر است:
hJ_? (v_i a)-KJ_1 (v_i a)=0 (3-38)
همچنین t_i (z) در رابطه (3-37) به صورت زیر تعریف می‌شود:
t_i (z)=?t_i?^+ exp?(v_i z)+?t_i?^- exp?(?-v?_i z)+?_i exp?(-?z) (3-39)
که در آن و ?t_i?^± ?_iبه صورت زیر محاسبه می‌شوند]20[.
?t_i?^±=((K?+h)(Kv_i?h) exp?(?v_i l)-(K?-h)(Kv_i±h) exp?(-?l))/((Kv_i-h)^2 exp??(-v_i l)-(Kv_i+h)^2 exp?(v_i l) ? ) ?×??_i (3-40)
?_i=(2?_0^a??Q_(GP(SPG)) Q(r) ? J?_° (r) r dr?)/(a^2 K(?v_i?^2-?^2 )[J_°^2 (v_i a)+J_1^2 (v_i a)]) (3-41)
در رابطه (3-41)، Q(r) تابعی است که وابستگی چشمه گرمایی به مختصه شعاعی را بیان می‌کند.

شکل3-5: توزیع دمای بلور در راستای شعاع میله درz=0 برای توان دمش مختلف.

شکل3-6: توزیع دمای بلور در راستای محور میله درr =0 برای توان دمش مختلف.
در شکل‌های (3-5) و (3-6)، توزیع دما در راستای شعاع و محور میله برای توان دمش مختلف رسم شده است. نتایج نشان می‌دهد، با افزایش توان دمش تا 5 وات، دمای میله لیزری در محل تابش از 309 به 346 کلوین افزایش پیدا می‌کند، این تغییرات، باعث به‌وجود آمدن شیب دمایی بیشتر در میله لیزری شده که زمینه ساز بروز اثرات منفی بر کیفیت پرتو خروجی لیزر می‌شود. اکنون با محاسبه دما، می‌توان تغیرات ضریب شکست را به صورت زیر محاسبه کرد:
?n(r,z)=?n/?T [T(r,z)-T_? ]+(n_0-1)?_zz+ ?_(i,j=1)^3??n/(??_ij ) ?_ij (3-42)
که در این رابطه، جمله اول بیانگر تغییر ضریب شکست ناشی از پاشندگی گرمایی، جمله دوم اثر تنش محوری و جمله سوم دوشکستی تنش القایی را نشان می‌دهد که معمولا در انجام محاسبات، تأثیر آن را نادیده گرفته می‌شود. در جمله دوم، ?_zz مولفه طولی تانسور کرنش44 است که به صورت زیر تعریف می‌شود]8[:
?_zz=(1+v) ?_T [T(r,z)-T(0,z)] (3-43)
در رابطه فوق، ?_T ضریب انبساط گرمایی بلور و v ثابت پواسن است. لذا تغییرات ضریب شکست در میله لیزر به صورت زیر بدست می‌آید:
?n(r,z)=[?n/?T+(n_0-1)(1+v) ?_T]?_(i=1)^???t_i (z) ? J?_° (?v_i r)?^ ?(3-44)
از طرفی تغیرات دمایی ضریب شکست، می‌تواند باعث ایجاد اختلاف فاز بین پرتوهای عبوری از نزدیک محور با سایر پرتوهای عبوری شود. اختلاف فاز به وجود آمده، به صورت رابطه زیر محاسبه می‌شود ]62[:
??=k?_0^l???n(r,z) dz? (3-45)
با جایگذاری تغییرات ضریب شکست در رابطه‌ی (3-45) و انجام محاسبات، اختلاف فاز به صورت زیر بدست می‌آید:
??=k[dn/dT+(n_°-1)(v+1) ?_T ] ?_(i=0)^N??J_° (v_i r)[?t_i?^+/v_i ? (e^(v_i l)-1)-?t_i?^-/v_i (e^(?-v?_i l)-1)-?/? e^(-?z)](3-46)
برای یک محیط عدسی-گونه، فاصله کانونی عدسی را می توان با استفاده از رابطه زیر محاسبه کرد]63[:
f_th=-(k r^2)/(2 ?? ) (3-47)
که با استفاده از تقریب پرتو پیرامحوری، فاصله کانونی عدسی گرمایی به صورت زیر محاسبه می‌شود:
f_th=(2 n_°)/((?n/?T+(n_0-1)(1+v) ?_T)?_(i=0)^???_°^l??t_i (z) v_i^2 dz? ) (3-48)
با انجام محاسبات و استفاده از تقریب پرتو پیرامحوری در رابطه‌ی (3-44)، می‌توان ضریب شکست میله لیزر را به صورت زیر محاسبه کرد:
n(r,z)=n_0 (1-r^2/(4n_° )

دسته‌ها: No category

دیدگاهتان را بنویسید