گرفته می‌شوند]23[:
C_r=0.017 , C_?=-0.0025 (2-25)
با توجه به کوچک بودن این مقادیر، سهم تغییرات ضریب شکست ناشی از تنش گرمایی ناچیز است، بنابراین در محاسبه فاصله‌ی کانونی عدسی گرمایی معمولا از آن صرفنظر می‌شود. تغییرات ضریب شکست ناشی از وجود اختلاف دما به صورت زیر بیان می‌شود:
?n?(r)?_T=dn/dT(T(r)-T(r_°)) (2-26)
در رابطه‌ی بالا، dn/dT ضریب گرمایی بلور است که خاصیت ذاتی و حرارتی بلور را نشان می‌دهد. این ضریب برای بلورهای همسانگرد نظیر Nd:YAG همواره عددی مثبت و برابر با مقدار 7.3×?10?^(-6) K^(-1) است. مثبت بودن dn/dT یعنی در نواحی نزدیک به مرکز میله لیزری دما بیشـتر اسـت و ایـن ناحیـه از لحـاظ نـوری چگـال‌تر از بقیـه نواحی میله است. بنابراین هر چه به مرکز میله لیزری نزدیکتر شویم، ضریب شکست بزرگتر می‌شود و میله لیزری مانند یک عدسی گرمایی عمل می‌کند. در ضمن تغییر فاز به وجود آمده در اثر تغییر ضریب شکست ناشی از گرادیان دمایی به صورت رابطه زیر بیان می‌شود]28[:
??_f=(k p_ph )/(2 ? K ?_P^2 ) dn/dT ? r?^2 (2-27)
که K ضریب رسانندگی گرمایی بلور، k عدد موج و p_ph توان گرمای اتلافی است که از رابطه‌ی (2-20) بدست می‌آید. وجود اختلاف فاز برای باریکه در جهت شعاع به این معنی است که محیط فعال به صورت یک عدسی همگرا عمل می‌کند که می‌توان فاصله کانونی آن را محاسبه کرد. ارتباط اختلاف فاز و فاصله کانونی عدسی به صورت رابطه زیر بیان می‌شود:
??_f=(k ? r?^2)/(2 f) (2-28)
بنابراین برای یک میله لیزری که توسط یک لیزر از پهلو دمیده می‌شود، فاصله کانونی عدسی گرمایی از رابطه زیر بدست می‌آید]28[:
f=(A K)/(p_ph (dn/dT)) (2-29)
که در این رابطه A=??_P^2 مساحت مقطع پرتو گاوسی است.

فصل سوم:

مدل گرمایی پرتوهای کسینوس-گاوس و سهموی-گاوس، مقایسه تأثیر گرما بر تولید پرتوهای هلمهولتز-گاوس

3- مدل گرمایی پرتوهای کسینوس-گاوس و سهموی-گاوس، مقایسه تأثیر گرما بر پرتوهای هلمهولتز-گاوس

3-1 مقدمه
در لیزرهای حالت جامد پرتوان، باید به اهمیت و نقش گرمای تولید شده در کاواک، توجه ویژه‌ای شود، زیرا در این لیزرها، بخش عمده ای از انژری دمش در بلور از بین می‌رود و تبدیل به گرما می‌شود. تولید گرما در مواد لیزری حالت جامد، اثرات مهمی بر عملکرد لیزرها دارد و تخمین مقدار گرمای تولیدشده در میله لیزری در مشخص‌کردن اندازه بلور، توان خروجی، بازده لیزر و نوع سیستم خنک‌کننده لیزر کاربرد و اهمیت دارد. بنابراین بررسی اثرات گرمایی در سیستم‌های اپتیکی و لیزری بسیار حائز اهمیت است]29[. علی‌رغم مزیت‌هایی که لیزرهای حالت جامد با دمش انتها دارند]30[، تمرکز پرتو دمش در یک طرف بلور لیزر، منجر به جذب انرژی بالایی می‌شود و در نتیجه بلور لیزری تحت تأثیر گرمای تولید شده قرار گرفته و باعث ایجاد تنش گرمایی و در نتیجه ایجاد عدسی گرمایی27 در آن می‌شود. بنابراین اعوجاج، کاهش کیفیت پرتو به خاطر عدسی-گونه شدن و افت واقطبیدگی ناشی از دو شکستی القا شده توسط تنش، از جدی‌ترین مسائل اثرات گرمایی است]31,32[. تنش ناشی از اثرات حرارتی حتی می تواند به شکست بلور لیزر منجر شود. به طور کلی پرتوهای خاص خانواده هلمهولتز-گاوس28 به چهار دسته پرتو بسل-گاوس29، ماتیو-گاوس30، کسینوس-گاوس31، سهموی-گاوس32 طبقه‌بندی می‌شوند. پرتوهای هلمهولتز-گاوس به میدان‌های پیرامحوری که توزیع عرضی آن‌ها شامل یک پرتو ایده‌آل ناپراشیده33 و یک تابع گاوسی است، اطلاق می‌شوند. چندین جواب ناپراشیده برای معادله موج گزارش شده است که می‌توان به پرتوهای کسینوسی در مختصات دکارتی، پرتوهای ماتیو در مختصات استوانه‌ای بیضوی، پرتوهای بسل در مختصات استوانه‌ای دوار و پرتوهای سهموی در مختصات استوانه‌ای سهموی اشاره کرد]29[،]32-34[. به دلیل اینکه این پرتوها در هنگام انتشار در خلأ، توزیع شدت عرضی آن‌ها بدون تغییر باقی می‌ماند آن‌ها را پرتوهای ناپراشیده می‌نامند. این پرتوهای خاص دارای ویژگی‌ها و کاربردهای فراوانی هستند که می‌توان به اصلاح ضریب شکست گازها]35,36[، هدایت و تمرکز ذرات باردار]37,38[، توموگرافی همدوس اپتیکی34 ]39[، دستکاری به شکل اپتیکی ذرات زنده و غیرزنده]40-42[ و بررسی سطوح بازتاب کننده با کمک تداخل سنجی ]43[ اشاره نمود، همچنین این پرتوها در اپتیک غیرخطی نیز کاربرد دارند]44-46[. خصوصیات انتشاری پرتوهای خانواده هلمهولتز-گاوس از جمله پرتوهای بسل-گاوس، کسینوس-گاوس و ماتیو-گاوس در فضای آزاد و در سیستم‌های اپتیکی پیرامحوری که با ماتریس‌های انتقالABCD مشخص می‌شوند، به‌طور جامع مورد مطالعه و بررسی قرار گرفته است]33[، ]47-50[.
در این فصل، ابتدا پرتوهای خانواده هلمهولتز-گاوس معرفی می‌شوند، سپس تأثیر گرما بر تولید پرتوهای خاص کسینوس-گاوس و سهموی-گاوس بررسی می‌شود، لذا از یک مدل گرمایی که یک محیط با ضریب شکست متغیر را توصیف می‌کند، استفاده می‌شود و در پایان، به بررسی و مقایسه میزان تأثیر گرما بر تولید چهار پرتو خاص خانواده هلمهولتز-گاوس پرداخته می‌شود.
پرتوهای هلمهولتز-گاوس
میدان مختلط یک پرتو خاص مربوط به خانواده هلمهولتز-گاوسH_1 (r ?_1;k_1 )، در صفحه ورودیZ=Z1 مربوط به یک سیستم اپتیکی پیرامحوری با ماتریس انتقال ABCD را می‌توان به‌صورت زیر تعریف کرد]30[:
?H_1 (r ?_1;k_1 )=exp??(-?r_1?^2/?^2 )F(r ?_1;k_1 ) (3-1)
که در آ ن (r_1 ) ?=(x_1,y_1 )=(r_1,?) مختصات عرضی را نشان می‌دهد و ?_ کمر پوش گاوسی و k1 عدد موج عرضی است. در این حالت F(r ?_1;k_1 )توزیع عرضی یک پرتو ناپراشیده ایده‌آل است که در معادله زیر صدق می‌کند:
(?^2/(?x^2 )+?^2/??y?^2 +k_1^2)F_ (r ?_1;k_1 )=0 (3-2)
جواب معادله‌ بالا را می‌توان بر حسب برهم نهی امواج تخت بسط داد و به‌صورت زیر بیان کرد:
F(r_1,?_1)=?_(-?)^???A(?)exp?(i?_1 (x cos ?+y sin?? )d?? (3-3)
که در این رابطه A(?) یک طیف زاویه‌ای اختیاری35 از پرتو ناپراشیده است. با استفاده از انتگرال پراش هویگنس، می‌توان توزیع عرضی یک پرتو خانواده هلمهولتز-گاوس در صفحه خروجی مربوط به یک سیستم اپتیکی ABCD را به‌صورت زیر نوشت]31[:
U(r_2 )=exp?((ikr_2^2)/(2q_2 ))exp?((k_1 k_2 B)/2ik)exp?(ik?)/(A+B/q1) F((r_2 ) ?;?_2) (3-4)
که در آن ? طول مسیر اپتیکی36 از صفحه ورودی تا خروجی در مسیر مستقیم و q2 و ?2 به ترتیب پارامتر مختلط و عدد موج عرضی در صفحه خروجی هستند. این پارامترها از قوانین انتقال زیر پیروی می‌کنند]31[:
q_2=(Aq_1+B)/(Cq_1+D) , ?_2=(?_1 q_1)/(Aq_1+B) (3-5)
که q پارامتری مختلط است که از رابطه 1/q=1/R+2i/(k?^2 ) محاسبه می‌شود، در این رابطه R و k به ترتیب شعاع انحنای جبهه موج و بردار موج هستند.
3-2-1 پرتوهای بسل-گاوس
در سال‌های اخیر، تولید پرتوهای بسل به لحاظ نظری بررسی شده وخصوصیات انتشاری آن‌ها در فضای آزاد و سیستم‌های اپتیکی به‌طور مفصل بررسی شده است]48,49[. هاکولا و همکارانش]50[ نیز با استفاده از یک لیزر حالت جامد Nd: YAG توانسته‌اند پرتوهای بسل-گاوس را تولید کنند. شکل (3-1) چیدمان آزمایشگاهی هاکولا و همکاران برای تولید پرتوهای بسل-گاوس را نشان می‌دهد. طراحی هاکولا و همکاران بر پایه یک تشدیدگر تخت-کاو است که در آن به جای استفاده از آینه خروجی کاو، از یک آینه پراشنده برای تزویج فاز پایین‌ترین مرتبه مود بسل-گاوس استفاده شده است. پرتوهای بسل، جواب دقیق معادله موج با فرض ناپراشیده بودن در مختصات استوانه‌ای دوار37 هستند. توزیع عرضی یک پرتو بسل-گاوس مرتبه m ام به‌صورت زیر بیان می‌شود:
?BG?^m (r,?)=?A ??exp?(-r^2/?^2 ) J_m (?_t r)exp?(im?) (3-6)
که در این رابطهA ثابت نرمالیزاسیون، ?_t عدد موج عرضی است و Jm(?_t r)، تابع بسل مرتبه mام است.

این مطلب رو هم توصیه می کنم بخونین:   منبع پایان نامه درباره بورس اوراق بهادار، بازده سهام، کوتاه مدت

شکل 3-1: چیدمان آزمایشگاهی هاکولا برای تولید پرتوهای بسل-گاوس]53[.

شکل 3-2: چیدمان آزمایشگاهی برای تولید پرتوهای ماتیو-گاوس]65[.

3-2-2 پرتوهای ماتیو-گاوس
اخیرا گوتیرز-وگا و همکاران ]50[،]54,55[ وجود پرتوهای ماتیو-گاوس را به صورت نظری و آزمایشگاهی مورد بررسی قرار داده‌اند و تحلیلی دقیقی از پرتوهای ماتیو-گاوس ارائه و خصوصیات این گونه پرتوها را به شکلی دقیق بیان کرده‌اند. شکل (3-2)، چیدمان‌ آزمایشگاهی که هرناندز و همکاران برای تولید پرتوهای ماتیو-گاوس استفاده کردند را نشان می‌دهد. در این چیدمان اپتیکی(SLM) یک تلفیق‌کننده نوری38، (L1,2) عدسی، (P) پلاریزور خطی و (HWP) صفحه نیم موج39 است. به طور کلی میدان پرتو خاص ماتیو به صورت زیر معرفی می‌شود:
M(?,?)=R(?)?(?) (3-7)
که در آن (??0) ? مختصه شعاعی بیضوی و(2??0) ? مختصه زاویه ای بیضوی مربوط به این پرتوها هستند که ارتباط این مختصات با مختصات دکارتی به صورت زیر بیان می‌شود]29[:
x=f cosh??? cos?? ? (3-8)
y=f sinh??? sin?? ? (3-9)
در این رابطه f فاصله کانونی است. با جداسازی متغیرها، معادله هلمهولتز بر حسب مختصات بیضوی به صورت زیر محاسبه می‌شود]29[:
(d^2 R)/(d?^2 )-(a-2q cosh??2?)R=0? (3-10)
(d^2 ?)/(d?^2 )-(a-2q cosh??2?)?=0? (3-11)
در روابط بالا، a ثابت جداسازی متغیرها و q پارامتری است که به صورت q=(f^2 k_t^2)/4 در نظر گرفته می‌شود. با حل معادلات بالا، پرتوهای ماتیو-گاوس مرتبه زوج و فرد به صورت زیر محاسبه می‌شوند:
MG_m^e (?,?)=N_m^e exp?(-r^2/?^2 ) Je_m (?,q)ce_m (?,q) (3-12)
MG_m^o (r,?) =? N?_m^o exp?(-r^2/?^2 )Jo_m (?,q)se_m (?,q)(3-13)
که N_m^(o,e) ثابت بهنجارش و ce_m (.) ،Je_m (.) توابع شعاعی و زاویه‌ای ماتیو مرتبه زوج هستند. از طرفی پرتوهای ماتیو-گاوس بر حسب توابع بسل، برای دو حالت زوج و فرد به صورت زیر بیان می‌شوند]29[:
MG_2m^e (r,?,z)=N_2m^e 2? C_2m^e exp?((-r^2)/?^2 ) ?_(j=0)^?????(-1)?^j A?_2j^ J_2j (k_t r)cos?(2j?)? (3-14)
MG_(2m+1)^o (r,?,z)=N_(2m+1)^o??2? C_(2m+1)^o ? exp?(?-r?^2/?^2 ) ?_(j=0)^????(-1)^j B?_2j^ J_(2j+1) (k_t r)sin((2j+1)?)? (3-15)
که در این روابط Jn(.)، تابع بسل مرتبه nام، A_2j^ و B_(2j+1)^ ضرایب ثابت فوریه هستند و ضرایب N_2m^e. N_(2m+1)^o به صورت زیر محاسبه می‌شوند:
N_2m^e=(2 cos?(?/2))/(?(2 ) ? ?Ce?_2m (0;q)?Ce?_2m (??2;q))[A_°/?(?_(J=0)^????(1+?_(j,0))I?_2j (?) A_(2j+1)^2

دسته‌ها: No category

دیدگاهتان را بنویسید